[HaBo]

gugugs

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Gegeben ist der Scheitelpunkt (2|1) und ein weiter Punkt (-1|7)

Wie bestimme ich die Gleichung

Maulwurf

Wenn ich mich recht entsinne bekommt man den Scheitelpunkt (ich bin mir jetzt nicht sicher, ob du Wendestelle oder Sattelpunkt meinst, aber Sattelpunkt = Wendestelle, wenn man noch die erste Ableitung gleich null setzen lässt), wenn die zweite Ableitung der Gleichung = 0 gesetzt wird und der enstandene Wert beim einsetzen in die dritte Ableitung alles AUSSER 0 ergibt

Da du nichts anderes zur Gleichung geschrieben hast, würde ich von einer 3. Grades ausgehen (also irgendwas mit x^3), da dann zum ersten mal ein Scheitelpunkt auftreten kann.

Das heißt deine Gleichung sieht so aus: f(x) = a x^3 + b x^2 + c x +d

erste Ableitung: f'(x) = 3a x^2 + 2b x + c
zweite Ableitung: f''(x) = 6a x + 2b
dritte Ableitung: f'''(x) = 6a

das setzt du null und setzt deinen Wert (2,1) ein -> 0 = 6a * 2 +2b
gleichzeitig hast du die Bedingung 6a ungleich 0
-> 6a*2 = -2b

so wie ich das sehe, bekommst du hier erstmal unendlich viele lösungen....

du hast aber noch die bedingung

9 = 3a * (-1)^2 + 2b * (-1) +c

a und b hättest du schon bestimmt, also kriegst du hier c

versuch es einfach mal aus, ich hab das hier relativ schnell hingekritzelt.

Markus

PS: Alle Angaben wie immer ohne Gewähr

beppo

Ich hätte da eine etwas andere Idee. Da wir ja einen Scheitelpunkt haben würde ich von einer Parabel ausgehen. Da wir nicht wissen, ob es sich um verschobene Normalparabel handelt oder nicht, würde ich mit der Gleichung

f(x)= a * (x - d) + e

beginnen. Die Scheitelpunktsgleichung für eine gedehnte/gestauchte und verschobene Parabel.
So d ist ja für die Verschiebung auf der x-Achse zuständig und e für die Verwschiebung auf der y-Achse. Die entsprechenden Werte können wir ja dem Scheitelpunkt entnehmen. Somit hätten wir uns schonmal zwei Unbekannte herausgefunden.
Und um an unser a zukommen können wir den zweiten Punkt in die gleichung einseten und diese dann nach a umstellen.

Ich hoffe ich habe einigermassen verstandlich geschrieben. Kannst ja mal dein Ergebniss posten.

gugugs

Also ich hab es mittlerweile auch herausgefunden, und es geht noch viel einfacher.

ich hab ja den Scheitelpunkt, also kann ich ja im Prinzip schon fast die ganze Gleichung herausfinden, das einzigste was mir in der Gleichung ax?+bx+c fehlt ist a

Setzen wir zuerst mal in die Scheitelpunktsform um, das wäre dann so:

(x-2)?+1

um nun a dazu zu bekommen einfach

a (x-2)?+1

dann erst mal alles auf unsre normale ax?+bx+c Gleichung bringen:

a(x?-4x+4)+1
ax?-4ax+4a+1

Nun kommt unser Punkt ins Spiel, für denn Punkt wissen wir ja für y=7 x=-1
also einfach in die Gleichung einsetzen

7=a(-1)?-4a(-1)+4a+1
7=a+4a+4a+1
7=9a+1
a=2/3

Da man jetzt a hat, muss man es ja jetzt nur noch in die oben gennante Scheitelpunktsform einsetzen (a (x-2)?+1) also:

2/3(x-2)?+1

Endergebniss:

f(x)=2/3x?-8/3x+11/3

alles genau wie beppo schon sagte, nur etwas detailerter