[HaBo]

Ook! · 19.11.08, 10:51

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe und kriege sie nicht gelöst... Ich kriege immer 1 raus!

Zitat:

Beweisen Sie das folgende durch Induktion:
1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1)

Gruß
Felix

Edit: Klammern eingefügt... im Eifer vergessen :)

90nop · 19.11.08, 11:16

Code:

n/n+1

macht wenig Sinn, oder?

gibt immer 2.

also gibt doch eher:

Code:

(n+1)/n

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lagalopex · 19.11.08, 13:18

Auf der linken seite fehlen auch klammern...
1/1*2 = 2
1/2*3 = 3/2

=>

Code:

1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1)

Und du hast doch schon geschrieben, dass du es mit Induktion lösen sollst/willst. Also mach es doch?!

für n = 1 stimmts ja:

Code:

1/(1*2) = 1/(1+1)

und dann beweise es für n->n+1...

Code:

n/(n+1) + 1/((n+1)(n+1+1)) = (n+1)/(n+1+1)

Nach kurzer Umformung sieht man es dann ganz leicht...

In welcher Klasse biste denn

Ook! · 19.11.08, 14:10

Mir ist das Thema Induktion vollkommen fremd, habe es also noch nie in der Schule o.ä. gesehen... Ich habe es in einem Buch aufgegriffen und beschäftige mich nun damit

Janus · 19.11.08, 14:16

Tipp: Partialbruchzerlegung.

1 / (n * (n + 1)) = 1 / n + 1 / (n + 1)

und dann macht das ganz lustige sachen (unter anderem nennt sich das dann Teleskopsumme, weil fast alle Glieder bis auf 2 wegfallen) und die Induktion sollte dann eigentlich das geringste Problem sein (wenn man das Prinzip verstanden hat ^^)

Ook! · 20.11.08, 20:40

Schweinerei!

Ich kriegs nicht hin...
Kann mir jemand erklären, wie man weiter vorgeht um die Aufgabe zu lösen?

@Janus:
Hab mir den Wiki Artikel durchgelesen und fand es auf den ersten Blick zu kompliziert... Klingt allerdings sehr interessant

)

lagalopex · 23.11.08, 15:19

Also gut. Nach Induktion ist es so, dass du eine allgemeine Formel für n=1 beweist, was eigentlich immer recht leicht ist:

Code:

1/(1*2) = 1/(1+1)

(ist wahr)
Nun gehst du davon aus, dass es die Formel für n=1 bewiesen ist (haben wir ja gerade).

Nun zeigen wir, dass wenn die Formel für n stimmt, dass sie dann auch für n+1 stimmt. So ist die Formel für jedes n >= 1 bewiesen.
Also stimmt:

Code:

1*(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1)

für n+1 steht dann:

Code:

1*(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) + 1/((n+1)((n+1)+1))= (n+1)/((n+1)+1)

Wie man sieht, sind die ersten Glieder gerade die Teile für n (was ja bewiesen wurde), daher ersetzen wir diese durch den "rechten Teil":

Code:

n/(n+1) + 1/((n+1)((n+1)+1))= (n+1)/((n+1)+1)

Jetzt steht dort eine recht einfache Formel. Die Brüche beseitigen und ausmultiplizieren und schon haben wir:

Code:

n^2 + 2n + 1 = n^2 + 2n + 1

Was wahr ist. Also stimmt die Formel für n aus N+.

Lesco · 23.11.08, 22:21

Zitat:

Original von lagalopex
n aus N+.

[Haarspalterei]Natürliche Zahlen sind immer positiv.[/Haarspalterei]

+++ATH0 · 23.11.08, 22:32

Zitat:

Original von Lesco

Zitat:

Original von lagalopex
n aus N+.

[Haarspalterei]Natürliche Zahlen sind immer positiv.[/Haarspalterei]

N+ ist eine gängige Schreibweise um die 0 explizit auszuschliessen. Wenn ich mich recht entsinne, hat man sich in der Mathematik nicht einheitlich darüber geeinigt ob man die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt oder nicht.

Und da lagalopex seine Induktionsverankerung bei n=1 begonnen hat, hat er die Gleichung für n=0 nicht bewiesen. (geht ja auch schwer

)

Heinzelotto · 23.11.08, 22:51

Zitat:

Original von Lesco
[Haarspalterei]Natürliche Zahlen sind immer positiv.[/Haarspalterei]

[haarspalterei]natürliche zahlen sind immer nicht negativ[/haarspalterei]

Bei meinen Dozenten ist übrigens ungefähr die Hälfte der Meinung, dass die 0 dazugehört, die andere Hälfte nicht.
Zu denen, die die 0 dazuzählen, gehört einerseits der Info-Professor (wen wunderts?) und dann noch der Lineare Algebra-Professor, der zählt die 0 dazu, seitdem ihm ein Fields-Medallien-Träger bei einer seiner Arbeiten angemerkt hat: "Das ist alles ziemlich gut, bloß eines ist mir aufgefallen: Die Natürlichen Zahlen fangen bei 0 an und nicht bei 1"

Lesco · 24.11.08, 16:20

Ok, ich bin bis jetzt immer davon ausgegangen, dass die 0 nicht dazugehört und das auch mehr oder weniger so anerkannt wäre.

Ook! · 26.11.08, 23:08

Hallo!

Erstmal dankeschön für die ausführliche Erklärung, lagalopex!

Aufgabe:

Code:

Summe von i=1 über (2i) bis n entspricht n^2 + n

Für n = 1 ist es gültig.

Code:

Summe von i=1 über (2i) bis 1 entspricht 1^2 + 1
2i = n^2 + n
2 * 1 = 1^2 + 1
2 = 2

Für n + 1 haut es nicht hin, hab zwei Ansätze.

Code:

2i + 2n + (2n + 1) = n^2 + 1 + n + 1
(n^2 + n) + 2n + (2n + 1) = n^2 + 1 + n + 1
n^2 + 5n + 1 = n^2 + n  + 2

2i + 2n + (2n + 1) = n^2 + 1 + n + 1
(n^2 + n) + 2n + (2n + 1) = (n+1)^2 + (n + 1)
n^2 + 5n + 1 = n^2 + 3n  + 1

Wo habe ich da den Fehler gemacht?

Gruß
Felix

lagalopex · 27.11.08, 03:38

Du hast ja die Summe für i = 1 bis n von 2i ist gleich n^2+n bewiesen.
Nun schreib es für n nach n+1 um:
Summe für i = 1 bis n+1 von 2i ist gleich (n+1)^2+(n+1).
Nun ziehen wir das letzte Element aus der Summe heraus und erhalten:
(Summe für i = 1 bis n von 2i) + 2(n+1) ist gleich (n+1)^2+(n+1)
Für Summenausdruck haben wir zuvor bewiesen:
n^2+n + 2(n+1) ist gleich (n+1)^2+(n+1)
Das jetzt noch etwas umformen und man sieht die Gleichheit.

Hoffe es ist etwas klarer geworden...

Darkslide · 08.12.08, 14:36

zu beweise: 2+4+6+8+...+2n = n^2+n

IA: n=1

2*1 = 1^2+1
2 = 2 w.A.

IS: n-->n+1

2+4+6+8+...+2n+2*(n+1) = (n+1)^2+(n+1)

laut IV gilt 2+4+6+8+...+2n = n^2+n

daraus folgt:

n^2+n + 2*(n+1) = (n+1)^2+(n+1)

n^2+n+2n+2 = n^2+2n+1+n+1
n^2+3n+2 = n^2+3n+2 q.e.d.

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19.11.08, 11:16	#2 (permalink)
90nop Registriert seit: 07.03.08 Likes: 0	Code: n/n+1 macht wenig Sinn, oder? gibt immer 2. also gibt doch eher: Code: (n+1)/n

19.11.08, 13:18	#3 (permalink)
lagalopex Registriert seit: 01.11.03 Likes: 0	Auf der linken seite fehlen auch klammern... 1/12 = 2 1/23 = 3/2 => Code: 1/(12) + 1/(23) + 1/(34) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1) Und du hast doch schon geschrieben, dass du es mit Induktion lösen sollst/willst. Also mach es doch?! für n = 1 stimmts ja: Code: 1/(12) = 1/(1+1) und dann beweise es für n->n+1... Code: n/(n+1) + 1/((n+1)(n+1+1)) = (n+1)/(n+1+1) Nach kurzer Umformung sieht man es dann ganz leicht... In welcher Klasse biste denn

23.11.08, 15:19	#7 (permalink)
lagalopex Registriert seit: 01.11.03 Likes: 0	Also gut. Nach Induktion ist es so, dass du eine allgemeine Formel für n=1 beweist, was eigentlich immer recht leicht ist: Code: 1/(12) = 1/(1+1) (ist wahr) Nun gehst du davon aus, dass es die Formel für n=1 bewiesen ist (haben wir ja gerade). Nun zeigen wir, dass wenn die Formel für n stimmt, dass sie dann auch für n+1 stimmt. So ist die Formel für jedes n >= 1 bewiesen. Also stimmt: Code: 1(12) + 1/(23) + 1/(34) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1) für n+1 steht dann: Code: 1(12) + 1/(23) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) + 1/((n+1)((n+1)+1))= (n+1)/((n+1)+1) Wie man sieht, sind die ersten Glieder gerade die Teile für n (was ja bewiesen wurde), daher ersetzen wir diese durch den "rechten Teil": Code: n/(n+1) + 1/((n+1)((n+1)+1))= (n+1)/((n+1)+1) Jetzt steht dort eine recht einfache Formel. Die Brüche beseitigen und ausmultiplizieren und schon haben wir: Code: n^2 + 2n + 1 = n^2 + 2n + 1 Was wahr ist. Also stimmt die Formel für n aus N+.

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19.11.08, 14:10	#4 (permalink)
Ook! Themenstarter Registriert seit: 21.04.08 Likes: 0	Mir ist das Thema Induktion vollkommen fremd, habe es also noch nie in der Schule o.ä. gesehen... Ich habe es in einem Buch aufgegriffen und beschäftige mich nun damit

19.11.08, 14:16	#5 (permalink)
Janus Registriert seit: 24.01.06 Likes: 0	Tipp: Partialbruchzerlegung. 1 / (n * (n + 1)) = 1 / n + 1 / (n + 1) und dann macht das ganz lustige sachen (unter anderem nennt sich das dann Teleskopsumme, weil fast alle Glieder bis auf 2 wegfallen) und die Induktion sollte dann eigentlich das geringste Problem sein (wenn man das Prinzip verstanden hat ^^)

20.11.08, 20:40	#6 (permalink)
Ook! Themenstarter Registriert seit: 21.04.08 Likes: 0	Schweinerei! Ich kriegs nicht hin... Kann mir jemand erklären, wie man weiter vorgeht um die Aufgabe zu lösen? @Janus: Hab mir den Wiki Artikel durchgelesen und fand es auf den ersten Blick zu kompliziert... Klingt allerdings sehr interessant )

24.11.08, 16:20	#11 (permalink)
Lesco Senior Member Registriert seit: 03.09.05 Likes: 0	Ok, ich bin bis jetzt immer davon ausgegangen, dass die 0 nicht dazugehört und das auch mehr oder weniger so anerkannt wäre.

27.11.08, 03:38	#13 (permalink)
lagalopex Registriert seit: 01.11.03 Likes: 0	Du hast ja die Summe für i = 1 bis n von 2i ist gleich n^2+n bewiesen. Nun schreib es für n nach n+1 um: Summe für i = 1 bis n+1 von 2i ist gleich (n+1)^2+(n+1). Nun ziehen wir das letzte Element aus der Summe heraus und erhalten: (Summe für i = 1 bis n von 2i) + 2(n+1) ist gleich (n+1)^2+(n+1) Für Summenausdruck haben wir zuvor bewiesen: n^2+n + 2(n+1) ist gleich (n+1)^2+(n+1) Das jetzt noch etwas umformen und man sieht die Gleichheit. Hoffe es ist etwas klarer geworden...

08.12.08, 14:36	#14 (permalink)
Darkslide Registriert seit: 20.07.06 Likes: 21	zu beweise: 2+4+6+8+...+2n = n^2+n IA: n=1 21 = 1^2+1 2 = 2 w.A. IS: n-->n+1 2+4+6+8+...+2n+2(n+1) = (n+1)^2+(n+1) laut IV gilt 2+4+6+8+...+2n = n^2+n daraus folgt: n^2+n + 2*(n+1) = (n+1)^2+(n+1) n^2+n+2n+2 = n^2+2n+1+n+1 n^2+3n+2 = n^2+3n+2 q.e.d.

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