[HaBo]

Orniflyer

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Also ... ich komm irgendwie nicht vorwärts. Ich versteh zwar die Vorlesungen etc. aber ich finde hierfür keinen Ansatz:

Es seien A und B zwei Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(1) A echte Teilmenge aus B
(2) A Schnittmenge mit B = A
(3) A Vereinigungsmenge mit B = B
(4) A Differenzmenge von B = leere Menge
(5) Es gibt eine Menge C mit B = A Vereinigungsmenge mit C
(6) Es gibt eine Menge D mit A = B Schnittmenge mit D

Ich würds halt per Ringschluss machen, also aus 1 folgt 2, aus 2 folgt 3, usw. und aus 6 folgt 1.

Aber wie gesagt ... ich weiß nicht wirklich wie man das nun zeigt ?
Es wär echt nett wenn mir jemand eine der Folgerungen kurz zeigt.

ThePhil

Hi,
das zeigst du indem du die Elemente von den Mengen vergleichst. Für die Gleichheit in 2) musst du die HIn und die rückrichtung zeigen,

also x\in A\cap B \folgt x\in A

und

x\in A \folgt (mit (1)) x\in B\folgt x\in A\cap B

(\in heitß Element von, \cap heißt Schnitt)
das heißt 2 stimmt, und so machst du den Rest weiter, hast du bei was bestimmten Probleme oder allgemein?

übrigens stimmt 1) nicht es kann auch A=B sein. Manche Proffessoren schreiben echte Teilmenge, indem sie die Gleichheit durchstreichen, und das Zeichen \subset kann auch Teilmenge heißen.

Mfg ThePhil

metax.

Die Mengeneigenschaften kannst du ganz leicht zeigen, indem du boolsche Aussagen über Elemente der Mengen umformst.

BTW: Das "echte" in (1) ist falsch, da (1) sonst nicht äquivalent zu den anderen Aussagen sind, die bei A=B auch erfüllt wären.

z.B.
Das Ganze kannst du nun so weiter führen, teil auch mit Komplementäraussagen, Widerspruchsbeweisen etc. Suche dir einfach ne Reihenfolge, die am leitesten Umzuformen ist und mach nen Ringschluss

mfg, metax.

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Wenn keiner zuschaut, teile ich heimlich durch Null!
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Orniflyer

Wie soll denn aus {x| x in A AND x in B} folgen bzw. äquivalent sein: {x| x in A AND x in A}

Bzw. warum ist da 2x die Bedingung x element aus a aufgeführt ?
Ich verstehe natürlich die Bedingungsnotation und wie diese aus den Mengenbeziehungen folgt, aber ich verstehe nicht wie die Äquivalenz gezeigt wird da eben x element aus B sein muss und das in der "äquivalenten" Menge nicht vorkommt, sondern nur x element aus A.

Ich glaube ich hab wirklich ein ziemlich großes Brett vorm Kopf ...

metax.

Hm, sorry. Der Schritt ist nicht so ganz einfach.
Hätte man vermutlich geschickter Formulieren können.
Wenn a FOLGT b == b OR (NOT a) wahr ist, ist auch
a AND b = a wahr, da:
Ist recht kompliziert, lässt sich aber logisch herleiten.

mfg, metax.

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Orniflyer

ok ... genau sowas sehe ich nämlich zum ersten mal, das macht die gesamte aufgabe nämlich möglich ^^ Wobei ich mir bei der ganzen Sache eh nicht sicher bin.
Ok, danke.

Ich versuchs mal:

(1) <=> (2) da:

A Teilmenge B = {x| x in A AND x in B} => {x| x in A AND x in A} => {x| x in A AND x in B} = A Schnitt B = A

(2) <=> (3) da:

A = A Schnitt B = {x| x in A AND x in B} => {x| x in A OR x in B} = A Vereinigungsmenge B = B

(3) <=> (4) da:

B = A Vereinigungsmenge B = {x| x in A OR x in B} => {x| x in A AND x nicht in B} = A Differenz B = leere Menge

(4) <=> (5) da:

A Differenz B = leere Menge {x element aus leere Menge} => {x| x in B AND (x in A OR x in C)} = A Vereinigungsmenge C = B

(5) <=> (6) da:

A Vereinigungsmenge C = B = {x| x in B} => {x| x in B AND x in B} => {x| x in B AND x in D} = B Schnitt D = A

(6) <=> (1) da:

B Schnitt D = A = {x| x in A} => {x| x in A AND x in A} => {x| x in A AND x in B} = A Teilmenge B



So ... ist bestimmt totaler Humbug, was hab ich falsch gemacht ?
Es sieht einfach falsch aus