An deiner Stelle würde ich eine solche Ernennung ablehnen, wenn dein Arbeitgeber dir nicht _vorher_ eine entsprechende Schulung finanziert. Denn die Art deiner Haftung hängt vom jeweiligen Einzelfall ab. Als angestellter DSB hast du zumindest den Vorteil, dass dein Arbeitgeber in der Beweispflicht ist und dir eine Unterlassung deiner Pflichten, d.h. Fahrlässigkeit, beweisen muss, wenn es mal zu einem Datenschutzproblem kommt. Nun ist aber das Problem, dass du ohne ausreichende Kenntnisse im Bereich Datenschutz recht schnell mal in die Lage kommen kannst, dass dir zumindest grobe Fahrlässigkeit unterstellt werden kann. Kann man dir diese auch noch beweisen, bist du allein haftbar und zwar mit deinem gesamten Privatvermögen. In dem Fall hilft nur eine sogenannte Berufshaftpflicht-Versicherung. Ist die Fahrlässigkeit hingegen nur normal oder leicht, kann es sehr vom Gericht abhängen, vor dem der Fall verhandelt wird. Entweder wird dann auf eine Quoten-Regelung entschieden (d.h. ein Teil haftet dein Arbeitgeber, ein Teil du) oder der DSB wird komplett aus der Haftung genommen (üblich bei leichter Fahrlässigkeit).
Es ist also nicht verkehrt eine Berufshaftpflicht und eine Rechtsschutz-Versicherung abzuschliessen, wenn man als DSB tätig ist. Es ist aber auf jeden Fall enorm wichtig, dass du eine entsprechende Schulung besuchst. Dort wird man dir auch im Detail die rechtlichen Grundlagen deiner Haftbarkeit erklären.