Frage zu Kryptologie - Algebraische Methoden und Algorithmen

benediktibk

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#1
Kern der Frage ist eine Passage aus Kryptologie: Algebraische Methoden und Algorithmen: Amazon.de: Christian Karpfinger, Hubert Kiechle: Bücher, genauer gesagt auf Seite 41, 1. Auflage 2010 (falls rein zufällig jemand das Buch hat).

Ich tüftel da jetzt schon länger daran herum, blicke aber bei dem Absatz nicht wirklich durch. Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen:
Um das Köperelement X aus K[X]/(h) vom Polynom X aus K[X] zu unterscheiden, schreiben wir alpha anstelle von X aus K[X]/(h). Es gilt dann h(alpha) = 0, d.h. das Köperelement alpha aus K[X]/(h) ist eine Nullstelle des (über K irreduziblen) Polynoms h. Man sagt, der Körper K[X]/(h) enstehe aus K durch Adjunktion der Nullstelle alpha des Polynoms h.
Soweit ich das verstehe ist h etwas in der Art h1*x^2 + h2*x^1 + h3*x^0. alpha ebenfalls: alpha1*x^1 + alpha2*x^0 (oder so in der Art). Warum sollte jetzt dann das Polynom eine Nullstelle eines anderen Polynoms sein? Von Nullstellen spricht man doch nur bei Elementen aus K, nicht K[X]?

mfg benediktibk
 

bluez

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#2
Wieso sollte alpha ein Polynom sein? In deinem Zitat steht doch:
Um das Köperelement X aus K[X]/(h) vom Polynom X aus K[X] zu unterscheiden, schreiben wir alpha anstelle von X aus K[X]/(h)
Also quasi: "Wir meinen hier NICHT das Polynom, sondern das Körperelement, deshalb schreiben wir alpha. Und alpha sei nun exakt das Körperlement das einer Nullstelle in h entspricht."
Es sei denn, du hast einen Körper dessen Elemente Polynome sind?
 

bad_alloc

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#3
h ist auch ein Polynom und K[X]/(h) ist der Restklassenkörper der Polynome K[X] modulo dem Polynom h. D.h. alle Elemente von K[X]/(h) sind die Reste von Polynomdivision in K[X] durch h. Warum h(a) = 0 sein soll ist mir auch nicht klar. Steht im Buch noch irgendwo woher h kommt?
 

benediktibk

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#4
Wieso sollte alpha ein Polynom sein?
Weil alpha ein Element aus K[X]/(h) ist, was eine Menge von Polynomen ist.

Steht im Buch noch irgendwo woher h kommt?
In dem Teil des Buches geht es eben darum einen Restklassenkörper zu konstruieren, dementsprechend ist h ein irreduzibles Polynom aus K[X]\K. Ansonsten finde ich aber keine Einschränkungen für h.

mfg benediktibk
 
#5
Ohne LaTeX macht das keinen Spaß hier zu posten.


Also, du hast ein Polynom, z.B.
h(x) = x^2 + 2x + 1


Jetzt kannst du natürlich auch:
h(x^2) = x^4 + 2x^2 +1

schreiben, oder auch:

h(x^2+1) = (x^2+1)^2 + 2 (x^2+1) + 1



Nun hast du den Körper K[X]/(h). D.h. alle Elemente sind modulo h.

Wenn man dann h(alpha) berechnet, wird man feststellen, dass 0 am Ende rauskommt und damit ist alpha eine Nullstelle von h.
 

benediktibk

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#6
Danke für die Erklärung, leider habe ich erst jetzt die Zeit gefunden darüber nachzudenken. Ergebnis: Ich blicke da immer noch nicht durch. Vielleicht versuche ich es mal mit einem denkbar einfachen Beispiel (den Körper habe ich dem Buch entliehen):
h = X - a aus K[X] führt zu K = K[X]/h

Nach der Aussage zu Beginn müsste jetzt jedes Element aus K[X]/h eine Nullstelle von h sein. Nehmen wir dazu mal b != a, b aus K: h(b) = b - a != 0.

Wo liegt denn da mein Denkfehler?

mfg benediktibk
 
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