Jordan-Normalform

benediktibk

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Ich habe dazu gerade den Wikipedia-Artikel (Jordansche Normalform) studiert, bin aber etwas stutzig geworden. Ich meine mal gehöhrt zu haben, dass es nicht immer möglich ist eine Jordan-Normalform anzugeben, Wikipedia sagt aber es geht immer.

Also: Kann man für eine (reelle) Matrix immer eine Jordan-Normalform angeben?

mfg benediktibk
 
Zuletzt bearbeitet:

xblax

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Ja soweit ich weiß geht das, allerdings kann die Jordannormalform komplexe Eigenwerte enthalten.

Das liegt daran, dass das Charakteristische Polynom im reelen nicht zwingend in Linearfaktoren zerfällt (nicht reele Nullstellen). Im Komplexen ist das immer der Fall. (Es gibt also einfach komplexe Eigenwerte).
Anders gesagt, für jede reele n x n Matrix existiert eine JNF in C^(n x n). Sind die Eigenwerte aus R dann ist die JNF auch aus R^(n x n).
 

benediktibk

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Danke für die Antwort, inzwischen habe ich noch eine Quelle gefunden: Mathematik von Arens, Hettlich, Karpfinger, Kockelkorn, Lichtenegger und Stachel, erschienen im Spektrum-Verlag
Zerfällt das charakteristische Polynom einer Matrix, so existiert eine Jordan-Basis. Mit der daraus erstellten invertierbaren Matrix S ist J = S^-1 A S eine Jordan-Normalform von A.

Danke, benediktibk
 
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