Ein kleines mathematisches Problem mit binomischen Formeln

V

Valentin

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Ahoi,

habe mal ne kurze Frage muss in einer Übungsaufgabe folgendes beweißen und stehe da gerade voll auf dem Schlauch.

Also es gilt
xy+yz+zx kleiner gleich x?+y?+z?

so und das waren meine Schritte bisher:
x?+y?+z? rübergezogen also

(yx+yz+zx)-(x?+y?+z?) kleiner gleich 0

so jetzt das ganze mit -1 multipliziert

-(yx+yz+zx)+(x?+y?+z?) größer gleich 0

und die Klammern aufgelöst und etwas umgestellt

x?+y?+z? -yx-yz-zx größer gleich 0

so und hier komme ich nicht weiter. Weiß jemand Rat oder sieht jemand einen Fehler ? Wäre sehr dankbar für einen kleinen Denkanstoß ;-)
 
Wann muss denn Bewiesen werden ?



edit:
hab einfach mal versucht nen bisl aufzulösen ^^ :

xy+yz+zx <= x?+y?+z? |T // einschränkene bedingungen: x, y, z >= 0
2x + 2y + 2z <= x? + y? + z? | :2
x + y + z <= 1/2x? + 1/2y? + 1/2z? | ich hoffe ma ich begeh keine mathematische unmöglichkeit?
x + y + z <= x+ 1/2x + y + 1/2y + z + 1/2z | -y |-z |-x
0 <= 1/2x + 1/2y + 1/2z | - 1/2x // nach x auflösen ?
- 1/2x <= 1/2y + 1/2z | *(-1)
1/2x >= 1/2y + 1/2z | tjoar und nü ?




? ich hab mir gedacht das 1/2x? = x + 1/2x ist weil wenn
x? = 9
1/2x? = 4,5
4,5 = x + 1/2x (4,5 = 3 + 1,5)
 
ach du meine .....

ich lass das lieber um die uhrzeit

aber kann ich nich
x*y + y*z + z*x zu 2x 2y und 2z machen ?
 
Original von 0wnZ
ach du meine .....

ich lass das lieber um die uhrzeit

aber kann ich nich
x*y + y*z + z*x zu 2x 2y und 2z machen ?
Zum Vergrößern anklicken....

Nein. Setz doch einfach für die Variablen Zahlen ein. Z.B. sei x=1, y=2 und z=3 dann ergäbe sich folgendes für "x*y + y*z + z*x" 1*2 + 2*3 + 3*1 = 11 und für "2x + 2y + 2z" 2*1 + 2*2 + 2*3 = 12


Habe mir aber inzwischen überlegt das ganze so stehen zu lassen dürfte ja wohl Beweiß genug sein :-D
 
Rechne doch mal für den einfachen Fall x = y = z = 1 nach, dann siehst du, dass es offenbar nicht geht *g

[EDIT]
Mal zur Lösung, du hattest es ja schon bis

x? + y? + z? - xy - yz - zx >= 0

Das multiplizierst du mit 2:

2x? + 2y? + 2z? - 2xy - 2yz - 2zx >= 0

Die Quadrate kannst du ausschreiben:

x? + x? + y? + y? + z? + z? - 2xy - 2yz - 2zx >= 0

Umsortieren:

x? - 2xy + y? + y? - 2yz + z? + z? -2zx + x? >= 0

Nun kannst du die binomischen Formeln anwenden:

(x - y)? + (y - z)? + (z - x)? >= 0

Und wie du ja weißt, sind Quadrate immer positiv oder 0, und 3 positive Zahlen bzw. 0 zusammenaddiert ergibt eben auch was größeres oder 0.

q.e.d.

(BTW, eigenen Beitrag löschen und neuschreiben, nur damit man erkennen kann, dass was dazukam, stinkt *g)
 
mein minder schlauer beitrag :rolleyes:


(yx+yz+zx)-(x2+y2+z2)
= (xy+yz+xz)-(x2+y2+z2)
= +(xy+yz+xz)-(x2+y2+z2)
= xy+yz+xz-x2-y2-z
 
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