Lokale Extrema

weau · Nov 7, 2006

Hallo zusammen - mich beschäftigt gerade ein Thema aus der Mathematik.
Und zwar habe ich folgende Vermutung :

Wo f(x) ein lokales Extremum hat - hat f`(x) eine Nullstelle. (Korrekt oder?)
Wo f`(x) ein lokales Extremum hat - hat f``(x) eine Nullestelle? Oder einen Wendepunkt? das würde mich mal interessieren...
danke für eure antworten.

lg, weau

Gnome · Nov 7, 2006

Original von weau
Wo f(x) ein lokales Extremum hat - hat f`(x) eine Nullstelle. (Korrekt oder?)

Ja, denn da ist die Tangentensteigung von f(x) null.

Wo f`(x) ein lokales Extremum hat - hat f``(x) eine Nullestelle? Oder einen Wendepunkt? das würde mich mal interessieren...
danke für eure antworten.

lg, weau

Ebenfalls eine Nullstelle, da die Tangentensteigung von f'(x) an der stelle 0 ist

Was du evtl meinst:

Die Nullstelle von f''(x) ist eine Wendestelle von f(x)

saberrider · Nov 7, 2006

Original von Gnome
Die Nullstelle von f''(x) ist eine Wendestelle von f(x)

Sorry, aber als angehender Mathematiker muss ich da klugscheißen

Wenn f(x) an der Stelle x_0 eine Wendestelle hat, dann hat f''(x) an der Stelle x_0 eine Nullstelle

Die andere Richtung gilt nicht immer. Als Gegenspiel betrachte x^2, hat bei x_0=0 keinen Wendepunkt, aber f''(x_0) ist trivialerweise 0.

Serow · Nov 7, 2006

Und zwar habe ich folgende Vermutung :

Aus welchem Mathebuch hast du denn diese dreiste Vermutung

. Aber mal im Ernst: Hast du dir jetzt wirklich solange ein paar Gleichungen angeschaut, bis du das rausgefundent hast?

Elderan · Nov 7, 2006

Hallo,

Sorry, aber als angehender Mathematiker muss ich da klugscheißen

Oh ich glaub du hast dich im Beruf vergriffen....

Als Gegenspiel betrachte x^2

Ok, machen wir das mal:
f(x) = x^2
f'(x) = 2x
f''(x) = 2

So bitte erklär mir, wann f''(x) eine Nullstelle hat, bzw. wann 2 = 0 ist ?( ?( ?( 8o 8o
2 hat keine Nullstelle, also hat f(x) auch keinen Wendepunkt, da f''(x) nie null wird.

Die Nullstelle von f''(x) ist eine Wendestelle von f(x)

Fast richtig.

Ein Wendepunkt ist definiert:
f''(x) = 0 UND f'''(x) != 0

Ein Extrema:
f'(x) = 0 UND f''(x) != 0

Serow · Nov 7, 2006

lol Elderan,
ist denn f(x)=x? die einzig mögliche Funktion? Was ist denn mit f(x)=x? ??

f(x) = x?
f'(x) = 3x?
f''(x) = 6x
f'''(x) = x

Hier hat f''(x) ja wohl ne Nullstelle

saberrider · Nov 7, 2006

Original von Elderan
Hallo,

Sorry, aber als angehender Mathematiker muss ich da klugscheißen

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Oh ich glaub du hast dich im Beruf vergriffen....

Als Gegenspiel betrachte x^2

Zum Vergrößern anklicken....

Ok, machen wir das mal:
f(x) = x^2
f'(x) = 2x
f''(x) = 2

So bitte erklär mir, wann f''(x) eine Nullstelle hat, bzw. wann 2 = 0 ist ?( ?( ?( 8o 8o
2 hat keine Nullstelle, also hat f(x) auch keinen Wendepunkt, da f''(x) nie null wird.

verflixt 8o mein vordiplom muss wohl wieder zurückgeben ;(, du hast natürlich völlig recht. irgendwie war ich grad bei f''(x) = 0. Wobei, wenn wir den Körper K = {0, 1} zugrunde legen, haben wir doch 2=0

...

Original von Elderan
Ein Wendepunkt ist definiert:
f''(x) = 0 UND f'''(x) != 0

Ein Extrema:
f'(x) = 0 UND f''(x) != 0

Das stimmt nu aber wirklich nicht ganz. Es ist ein hinreichendes Kriterium, aber wenn du dir die Funktion x*|x| anschaust, hat sie bei 0 einen Wendepunkt, aber die 2. Ableitung existiert gar nicht

(Ich hoff diesmal lieg ich nich falsch :tongue: )

Cyberm@ster · Nov 7, 2006

Ergänzend muss man noch sagen, dass es nur ein lokales Extremum gibt wenn f'(x) = 0 && f'(x) das Zeichen wechselt, bzw dass es nur einen Wendepunkt gibt wenn f''(x) = 0 && f''(x) das Zeichen wechselt!

Serow · Nov 7, 2006

Original von Cyberm@ster
Ergänzend muss man noch sagen, dass es nur ein lokales Extremum gibt wenn f'(x) = 0 && f'(x) das Zeichen wechselt, bzw dass es nur einen Wendepunkt gibt wenn f''(x) = 0 && f''(x) das Zeichen wechselt!

Ist die Aussage "f''(x) das Zeichen wechselt" nicht dasselbe wie f'''(x) != 0 ???

saberrider · Nov 7, 2006

Nein, denn dafür f''' an der entsprechenden Stelle überhaupt erst einmal existieren. Existiert die Ableitung, dann ist f'' an der fraglichen Stelle stetig und die beiden Bedingungen dürften äquivalent sein.

Gnome · Nov 7, 2006

Original von Serow

Original von Cyberm@ster
Ergänzend muss man noch sagen, dass es nur ein lokales Extremum gibt wenn f'(x) = 0 && f'(x) das Zeichen wechselt, bzw dass es nur einen Wendepunkt gibt wenn f''(x) = 0 && f''(x) das Zeichen wechselt!

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Ist die Aussage "f''(x) das Zeichen wechselt" nicht dasselbe wie f'''(x) != 0 ???

Nein, bei f'''(x) != 0 kann essich auch um einen Sattelpunkt handeln

saberrider · Nov 7, 2006

Was wiederum nicht ausschließt, dass es sich dabei um einen Wendepunkt handelt.

Cyberm@ster · Nov 7, 2006

Sagt ja auch keiner, Gnome sagt nur, dass

"f''(x) das Zeichen wechselt" nicht dasselbe wie f'''(x) != 0

ist!

saberrider · Nov 7, 2006

Ach herrje, ihr habt natürlich völlig recht...

weau · Nov 8, 2006

geile diskussion

ich glaube ich weiß jetzt alles, was ich wissen wollte^^

danke euch

ElLute · Nov 8, 2006

Original von Serow
lol Elderan,
ist denn f(x)=x? die einzig mögliche Funktion? Was ist denn mit f(x)=x? ??

f(x) = x?
f'(x) = 3x?
f''(x) = 6x
f'''(x) = x

Hier hat f''(x) ja wohl ne Nullstelle

herrje, gleicher fehler wie zwei posts drüber...

leite doch mal 6x ab... in unseren breiten ergibt das 6, also ist die hinreichende bedingung für einen wendepunkt gegeben. zumal die funktion ziemlich ein paar mal stetig differenzierbar ist.

Elderan · Nov 8, 2006

Hallo,

aber die 2. Ableitung existiert gar nicht

Obwohl dies so in Wikipedia steht, bin ich damit nicht ganz glücklich (formell).

Also die Funktion:
f(x) = x*|x|

wird zu:
f'(x) = 2*|x|

Diese Funktion hat die Steigung:
f''(x) = 2 * sgn(x)

sgn ist eine Funktion, die das Vorzeichen der Zahl liefert (Umgangsprachlich).
Also:

Code:

          1    x > 0
sgn =   
         -1   x < 0

Wikipedia: Signum
Also im negativen X-Bereich ist die Steigung -2 und im positiven X-Bereich ist sie +2.

Die Funktion f'(x) ist nicht differenzierbar, sondern nur richtungsdifferenzierbar, das heißt, bei allen Punkten ungleich 0.
Quelle

Die Funktion f sei in einer Umgebung von x_w dreimal differenzierbar. Falls gilt f''(x_w)=0 UND f'''(x_W) != 0, so ist x_w Wendestelle.
Wendepunkt

Dabei gibt es aber ein paar Sonderfälle, wie gesehen, die einen Wendepunkt haben, aber wo man diese Regel anwenden kann.
Solche Funktionen sind dann aber meistens/immer(?) mit |x|, da man keine überall differenzierbare Ableitung von Funktionen erstellen kann, die einen Knick, wie z.B. |x| bei 0, haben.
Dennoch kann solch eine Funktion einen Wendepunkt besitzen.