Mathematik Polynom in Scheitelform

[90nop]

Hallo,

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabeln mit den Koordinatenachsen.

y = -3x^2 + 4x - 2

Um diese Aufagbe zu lösen, muss ich diese Quadratische Gleichung in die Scheitelform bringen. y = m (x + a)^2 + b

Nun, dies ist nur möglich, wenn ich aus einem Teil des Polynoms ein Binom Bilden kann, welches dann (x + a)^2 representiert.

y = -3x^2 + 4x - 2               | -3 Ausklammern
y = -3(x^2 - 4/3x + 2/3)         | und nun sollte ich Quadratisch ergänzen...

Nur stehe ich da etwas an...

Einfache Gleichungen kann ich Quadratisch ergänzen, aber diese irgendwie nicht...

x^2 - 4x + 3 = 0            | NULL hinzufügen mit [+4 - 4] um Binom zu erhalten
x^2 - 4x + 4 - 4 + 3 = 0    | Binom bilden:
(x-2)^2 - 4 + 3 = 0         | TU
(x-2)^2 = 1

aber so einfach ist es wohl oben nicht ...

 

[valenterry]

Original von 90nop
Einfache Gleichungen kann ich Quadratisch ergänzen, aber diese irgendwie nicht...

x^2 - 4x + 3 = 0            | NULL hinzufügen mit [+4 - 4] um Binom zu erhalten
x^2 - 4x + 4 - 4 + 3 = 0    | Binom bilden:
(x-2)^2 - 4 + 3 = 0         | TU
(x-2)^2 = 1

aber so einfach ist es wohl oben nicht ...

Klar kannst du die quadratisch ergänzen:

0 = x? - 4/3x + 2/3

quadratisch ergänzt:

0 = (x - 2/3)? + 2/9

macht dann:

-2/9 = (x - 2/3)?

Da man in der Menge der reellen Zahlen nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann, ist diese Gleichung nicht lösbar. Das bedeutet, dass die X-Achse keine gemeinsamen Punkte mit der Parabel hat. Die Parabel ist ja auch negativ, also nach unten geöffnet und zusätzlich nach unten versetzt. Also schneidet sie nur genau einmal die Y-Achse:

y = -3*0? + 4*0 - 2

y = -2

Da x beim Schnittpunkt mit der Y-Achse immer 0 sein muss, lautet der einzige Schnittpunkt S mit der Y-Achse: S(0 | -2)

 

[ftx]

Also mein Lösungsweg wär über die p/q-Formel gegangen... ich persönlich finde das noch ein bisschen leichter
Nur so als weiterer Denkanstoß.

 

[90nop]

Danke für deine Antwort.

Nur ist dieser Schritt:

0 = x? - 4/3x + 2/3

quadratisch ergänzt:

0 = (x - 2/3)? + 2/9

.. für mich nicht ganz nachvollziehbar.

Mit was hast du erweitert? Wie gehst du bei dieser Problemstellung grundsätzlich vor?

Ich versuche die Ergänzung wieder zurückzudrehen, um zu verstehen:

0 = (x - 2/3)? + 2/9   |BINOM ausmultiplizieren
0 = x? - 4/3x + (2/3)? + 2/9
0 = x? - 4/3x + 4/9 + 2/9
0 = x? - 4/3x + (4 + 2)/9
0 = x? - 4/3x + 6/9
0 = x? - 4/3x + 2/3

In die Richtung gehts, in die andere habe ich keine gezieltes Vorgehen.

Gibt es da einen "way to go"

Danke für deine bisherige Hilfe

EDIT:

Also mein Lösungsweg wär über die p/q-Formel gegangen... ich persönlich finde das noch ein bisschen leichter

Nun, ich habe gemerkt das ich mit Quadratischem ergänzen Probleme habe, und muss das sowieso in den Griff kriegen

 

[Cyberm@ster]

Du versuchst das x? - 4/3x so zu ergänzen, dass du die trinomische Form hast.

(x - y)? = x? -2xy +y?

4/3x entspricht dem 2xy, also ist y = 2/3

um das Trinom komplett zu machen, brauchst du aber noch ein (2/3)? = 4/9

das addierst du und substrahierst du, um die Gleichung nicht zu verändern:

    0 = (x? - 4/3x + 4/9) - 4/9 + 2/3
<=> 0 = (x - 2/3)? - 4/9 + 6/9
<=> 0 = (x - 2/3)? + 2/9

 

[bluez]

Original von ftx
Also mein Lösungsweg wär über die p/q-Formel gegangen... ich persönlich finde das noch ein bisschen leichter
Nur so als weiterer Denkanstoß.

dito.

auch einfach wäre es über die Ableitung zu gehen.
Im Scheitelpunkt (=lok. min. oder lok. max.) muss die Steigung null sein:
f'(x)=0 und f'(x)=-6x + 4
also: -4=-6x
dann muss für y=0 x=2/3 sein

Die Methode geht viel schneller als quadratische Ergänzungen und p/q-Formeln - Das letzte mal habe ich die qaudratische Ergänzung in der 9. Klasse benutzt. Für mich ist das nur eine weitere Methode Schüler zu verwirren und von der Mathematik abzuschrecken

 

[90nop]

AH, ich Nase^^ Jetzt sehe ich es:

x? -2xy +y?

ich habe...

x? -2xy

uns suche das "y?", welches ja auch schon habe (als einfaches "y"). Das Quadratische ergänzen ist so ne Sache ... Ich habe das schon lange nicht mehr gebraucht, genauso wie die Binome, daher bin ich wohl recht eingerostet


Die Lösung von valenterry ist korrekt. Aber mit einem Satz kann ich mich nicht anfreunden:

Die Parabel ist ja auch negativ, also nach unten geöffnet und zusätzlich nach unten versetzt.

m = -3 stellt die Steigeung/Dehenung und Richtung dar, daher stimmt das was du geschireben hast: If (0 > m) ---> Parabel verläuft nachunten, genau umgekehrt also. Aber nach unten versetzt!?

Scheitelform:
y = m (x+a)^2 + b
Daher bewirk ein Positives "b" eine verschiebung nach oben, nicht nach unten.

0 = (x - 2/3)? + 2/9

daher halte ich das +2/9 für "b".

Vielleicht ist das ja nicht korrekt, du rechnest ja nicht mit der ganzen Scheitelformgleichung, (-3, also die Steigung hast du wegeglassen)


However, das Resultat ist korrekt.

btw: Ich bin am repetieren, vor langer Zeit habe ich das AFAIK mal gekonnt

 

[valenterry]

Original von 90nop
Die Lösung von valenterry ist korrekt. Aber mit einem Satz kann ich mich nicht anfreunden:

Die Parabel ist ja auch negativ, also nach unten geöffnet und zusätzlich nach unten versetzt.

m = -3 stellt die Steigeung/Dehenung und Richtung dar, daher stimmt das was du geschireben hast: If (0 > m) ---> Parabel verläuft nachunten, genau umgekehrt also. Aber nach unten versetzt!?

Scheitelform:
y = m (x+a)^2 + b
Daher bewirk ein Positives "b" eine verschiebung nach oben, nicht nach unten.

0 = (x - 2/3)? + 2/9

daher halte ich das +2/9 für "b".

Vielleicht ist das ja nicht korrekt, du rechnest ja nicht mit der ganzen Scheitelformgleichung, (-3, also die Steigung hast du wegeglassen)


However, das Resultat ist korrekt.

btw: Ich bin am repetieren, vor langer Zeit habe ich das AFAIK mal gekonnt

Nachdem du quadratisch ergänzt hast, stimmt das natürlich nicht mehr. Die normale Form einer quadratischen Gleichung sieht so aus:

y = a*x? + b*x + c

Dabei beschreibt c immer, um wie weit die Parabel in der Höhe versetzt ist. Da c in deinem Beispiel -2 ist, ist die Parabel als um -2 nach oben versetzt und somit um 2 nach unten versetzt. Hätten wir +2 anstelle von -2, dann gäbe es auch 3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

 

[90nop]

Ja, aber zum Zeichnen/Vorstellen einer Parabel eignet sich die Scheitelform viel besser. Dort kann man alles auf einen Blick ablesen; Ich versuch mal meine Gleichung in die Scheitelform zu bringen