[Mathe] Mengenlehre - Brett vorm Kopf

[Orniflyer]

Also ... ich komm irgendwie nicht vorwärts. Ich versteh zwar die Vorlesungen etc. aber ich finde hierfür keinen Ansatz:

Es seien A und B zwei Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(1) A echte Teilmenge aus B
(2) A Schnittmenge mit B = A
(3) A Vereinigungsmenge mit B = B
(4) A Differenzmenge von B = leere Menge
(5) Es gibt eine Menge C mit B = A Vereinigungsmenge mit C
(6) Es gibt eine Menge D mit A = B Schnittmenge mit D

Ich würds halt per Ringschluss machen, also aus 1 folgt 2, aus 2 folgt 3, usw. und aus 6 folgt 1.

Aber wie gesagt ... ich weiß nicht wirklich wie man das nun zeigt ?
Es wär echt nett wenn mir jemand eine der Folgerungen kurz zeigt.

 

[ThePhil]

Hi,
das zeigst du indem du die Elemente von den Mengen vergleichst. Für die Gleichheit in 2) musst du die HIn und die rückrichtung zeigen,

also x\in A\cap B \folgt x\in A

und

x\in A \folgt (mit (1)) x\in B\folgt x\in A\cap B

(\in heitß Element von, \cap heißt Schnitt)
das heißt 2 stimmt, und so machst du den Rest weiter, hast du bei was bestimmten Probleme oder allgemein?

übrigens stimmt 1) nicht es kann auch A=B sein. Manche Proffessoren schreiben echte Teilmenge, indem sie die Gleichheit durchstreichen, und das Zeichen \subset kann auch Teilmenge heißen.

Mfg ThePhil

 

[metax.]

Die Mengeneigenschaften kannst du ganz leicht zeigen, indem du boolsche Aussagen über Elemente der Mengen umformst.

BTW: Das "echte" in (1) ist falsch, da (1) sonst nicht äquivalent zu den anderen Aussagen sind, die bei A=B auch erfüllt wären.

z.B.

A ist Teilmenge von B
=> Für alle x in A gilt: x in B
=> x in B ist erfüllt, wenn x in A erfüllt ist (hinreichende Bedingung)
=> A Schnitt B = { x | x in A AND x in B} = (mittels letzter Zeile)   { x | x in A AND x in A} = { x | x in A} = A

Das Ganze kannst du nun so weiter führen, teil auch mit Komplementäraussagen, Widerspruchsbeweisen etc. Suche dir einfach ne Reihenfolge, die am leitesten Umzuformen ist und mach nen Ringschluss

mfg, metax.

 

[Orniflyer]

A ist Teilmenge von B
=> Für alle x in A gilt: x in B
=> x in B ist erfüllt, wenn x in A erfüllt ist (hinreichende Bedingung)
=> A Schnitt B = { x | x in A AND x in B} = (mittels letzter Zeile)   { x | x in A AND x in A} = { x | x in A} = A

Wie soll denn aus {x| x in A AND x in B} folgen bzw. äquivalent sein: {x| x in A AND x in A}

Bzw. warum ist da 2x die Bedingung x element aus a aufgeführt ?
Ich verstehe natürlich die Bedingungsnotation und wie diese aus den Mengenbeziehungen folgt, aber ich verstehe nicht wie die Äquivalenz gezeigt wird da eben x element aus B sein muss und das in der "äquivalenten" Menge nicht vorkommt, sondern nur x element aus A.

Ich glaube ich hab wirklich ein ziemlich großes Brett vorm Kopf ...

 

[metax.]

Hm, sorry. Der Schritt ist nicht so ganz einfach.
Hätte man vermutlich geschickter Formulieren können.
Wenn a FOLGT b == b OR (NOT a) wahr ist, ist auch
a AND b = a wahr, da:

a AND b == a AND (b AND 1) == a AND (b AND (a OR (NOT a))) == a AND ((b AND a) OR (b AND (NOT a)) == {{mittels: a FOLGT b ist wahr, also 1}} a AND ((b AND a) OR 1) == a AND 1 == a

Ist recht kompliziert, lässt sich aber logisch herleiten.

mfg, metax.

 

[Orniflyer]

ok ... genau sowas sehe ich nämlich zum ersten mal, das macht die gesamte aufgabe nämlich möglich ^^ Wobei ich mir bei der ganzen Sache eh nicht sicher bin.
Ok, danke.

Ich versuchs mal:

(1) <=> (2) da:

A Teilmenge B = {x| x in A AND x in B} => {x| x in A AND x in A} => {x| x in A AND x in B} = A Schnitt B = A

(2) <=> (3) da:

A = A Schnitt B = {x| x in A AND x in B} => {x| x in A OR x in B} = A Vereinigungsmenge B = B

(3) <=> (4) da:

B = A Vereinigungsmenge B = {x| x in A OR x in B} => {x| x in A AND x nicht in B} = A Differenz B = leere Menge

(4) <=> (5) da:

A Differenz B = leere Menge {x element aus leere Menge} => {x| x in B AND (x in A OR x in C)} = A Vereinigungsmenge C = B

(5) <=> (6) da:

A Vereinigungsmenge C = B = {x| x in B} => {x| x in B AND x in B} => {x| x in B AND x in D} = B Schnitt D = A

(6) <=> (1) da:

B Schnitt D = A = {x| x in A} => {x| x in A AND x in A} => {x| x in A AND x in B} = A Teilmenge B



So ... ist bestimmt totaler Humbug, was hab ich falsch gemacht ?
Es sieht einfach falsch aus X(