Induktionsaufgabe

[Ook!]

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe und kriege sie nicht gelöst... Ich kriege immer 1 raus!

Beweisen Sie das folgende durch Induktion:
1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1)

Gruß
Felix

Edit: Klammern eingefügt... im Eifer vergessen

 

[90nop]

n/n+1

macht wenig Sinn, oder?

gibt immer 2. X(

also gibt doch eher:

(n+1)/n

 

[lagalopex]

Auf der linken seite fehlen auch klammern...
1/1*2 = 2
1/2*3 = 3/2

=>

1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1)

Und du hast doch schon geschrieben, dass du es mit Induktion lösen sollst/willst. Also mach es doch?!

für n = 1 stimmts ja:

1/(1*2) = 1/(1+1)

und dann beweise es für n->n+1...

n/(n+1) + 1/((n+1)(n+1+1)) = (n+1)/(n+1+1)

Nach kurzer Umformung sieht man es dann ganz leicht... X(
In welcher Klasse biste denn

 

[Ook!]

Mir ist das Thema Induktion vollkommen fremd, habe es also noch nie in der Schule o.ä. gesehen... Ich habe es in einem Buch aufgegriffen und beschäftige mich nun damit

 

[Janus]

Tipp: Partialbruchzerlegung.

1 / (n * (n + 1)) = 1 / n + 1 / (n + 1)

und dann macht das ganz lustige sachen (unter anderem nennt sich das dann Teleskopsumme, weil fast alle Glieder bis auf 2 wegfallen) und die Induktion sollte dann eigentlich das geringste Problem sein (wenn man das Prinzip verstanden hat ^^)

 

[Ook!]

Schweinerei!

Ich kriegs nicht hin...
Kann mir jemand erklären, wie man weiter vorgeht um die Aufgabe zu lösen?

@Janus:
Hab mir den Wiki Artikel durchgelesen und fand es auf den ersten Blick zu kompliziert... Klingt allerdings sehr interessant =))

 

[lagalopex]

Also gut. Nach Induktion ist es so, dass du eine allgemeine Formel für n=1 beweist, was eigentlich immer recht leicht ist:

1/(1*2) = 1/(1+1)

(ist wahr)
Nun gehst du davon aus, dass es die Formel für n=1 bewiesen ist (haben wir ja gerade).

Nun zeigen wir, dass wenn die Formel für n stimmt, dass sie dann auch für n+1 stimmt. So ist die Formel für jedes n >= 1 bewiesen.
Also stimmt:

1*(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1)

für n+1 steht dann:

1*(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) + 1/((n+1)((n+1)+1))= (n+1)/((n+1)+1)

Wie man sieht, sind die ersten Glieder gerade die Teile für n (was ja bewiesen wurde), daher ersetzen wir diese durch den "rechten Teil":

n/(n+1) + 1/((n+1)((n+1)+1))= (n+1)/((n+1)+1)

Jetzt steht dort eine recht einfache Formel. Die Brüche beseitigen und ausmultiplizieren und schon haben wir:

n^2 + 2n + 1 = n^2 + 2n + 1

Was wahr ist. Also stimmt die Formel für n aus N+.

 

[Lesco]

Original von lagalopex
n aus N+.

[Haarspalterei]Natürliche Zahlen sind immer positiv.[/Haarspalterei]

 

[+++ATH0]

Original von Lesco

Original von lagalopex
n aus N+.

[Haarspalterei]Natürliche Zahlen sind immer positiv.[/Haarspalterei]

N+ ist eine gängige Schreibweise um die 0 explizit auszuschliessen. Wenn ich mich recht entsinne, hat man sich in der Mathematik nicht einheitlich darüber geeinigt ob man die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt oder nicht.

Und da lagalopex seine Induktionsverankerung bei n=1 begonnen hat, hat er die Gleichung für n=0 nicht bewiesen. (geht ja auch schwer )

 

[Heinzelotto]

Original von Lesco
[Haarspalterei]Natürliche Zahlen sind immer positiv.[/Haarspalterei]

[haarspalterei]natürliche zahlen sind immer nicht negativ[/haarspalterei]

Bei meinen Dozenten ist übrigens ungefähr die Hälfte der Meinung, dass die 0 dazugehört, die andere Hälfte nicht.
Zu denen, die die 0 dazuzählen, gehört einerseits der Info-Professor (wen wunderts?) und dann noch der Lineare Algebra-Professor, der zählt die 0 dazu, seitdem ihm ein Fields-Medallien-Träger bei einer seiner Arbeiten angemerkt hat: "Das ist alles ziemlich gut, bloß eines ist mir aufgefallen: Die Natürlichen Zahlen fangen bei 0 an und nicht bei 1"

 

[Lesco]

Ok, ich bin bis jetzt immer davon ausgegangen, dass die 0 nicht dazugehört und das auch mehr oder weniger so anerkannt wäre.

 

[Ook!]

Hallo!

Erstmal dankeschön für die ausführliche Erklärung, lagalopex!

Aufgabe:

Summe von i=1 über (2i) bis n entspricht n^2 + n

Für n = 1 ist es gültig.

Summe von i=1 über (2i) bis 1 entspricht 1^2 + 1
2i = n^2 + n
2 * 1 = 1^2 + 1
2 = 2

Für n + 1 haut es nicht hin, hab zwei Ansätze.

2i + 2n + (2n + 1) = n^2 + 1 + n + 1
(n^2 + n) + 2n + (2n + 1) = n^2 + 1 + n + 1
n^2 + 5n + 1 = n^2 + n  + 2

2i + 2n + (2n + 1) = n^2 + 1 + n + 1
(n^2 + n) + 2n + (2n + 1) = (n+1)^2 + (n + 1)
n^2 + 5n + 1 = n^2 + 3n  + 1

Wo habe ich da den Fehler gemacht?

Gruß
Felix

 

[lagalopex]

Du hast ja die Summe für i = 1 bis n von 2i ist gleich n^2+n bewiesen.
Nun schreib es für n nach n+1 um:
Summe für i = 1 bis n+1 von 2i ist gleich (n+1)^2+(n+1).
Nun ziehen wir das letzte Element aus der Summe heraus und erhalten:
(Summe für i = 1 bis n von 2i) + 2(n+1) ist gleich (n+1)^2+(n+1)
Für Summenausdruck haben wir zuvor bewiesen:
n^2+n + 2(n+1) ist gleich (n+1)^2+(n+1)
Das jetzt noch etwas umformen und man sieht die Gleichheit.

Hoffe es ist etwas klarer geworden...

 

[Darkslide]

zu beweise: 2+4+6+8+...+2n = n^2+n

IA: n=1

2*1 = 1^2+1
2 = 2 w.A.

IS: n-->n+1

2+4+6+8+...+2n+2*(n+1) = (n+1)^2+(n+1)

laut IV gilt 2+4+6+8+...+2n = n^2+n

daraus folgt:

n^2+n + 2*(n+1) = (n+1)^2+(n+1)

n^2+n+2n+2 = n^2+2n+1+n+1
n^2+3n+2 = n^2+3n+2 q.e.d.