Mathe: Goniometrische Umformungen

[90nop]

Moin,

Nun, ich habe ein Mathematisches Problem.

Aufgabenstellung:
Der folgende Quotient soll durch die Funktionen von tan(alpha) und tan(beta) ausgedrückt werden:

 cos(alpha-beta)/sin(alpha-beta)

Am ende sollte folgendes rauskommen:

[1 + tan(alpha) * tan(beta) ]/[tan(alpha) + tan (beta)]

(Die eckigen Klammern gelten als "normale" Klammern.)

Nun, wie kommt man auf dieses Ergebnis?

Ich bringe die Ausgangslage lediglich in folgende Form:

[cos(alpha) * cos(beta) + sin(alpha) * sin (beta)]/[sin(alpha) * cos(beta) + cos(alpha) * sin(beta)]

Grundsätzlich sollte ich mit diesen Goniometrischen gleichungen das weiter umformen können, nur geht das irgendwie nicht so...

Hoffe einer von euch studierenden/studierten kann mir hier helfen

 

[Heinzelotto]

das passt glaub ich besser in das science & -fiction forum.

Aber:
als erstes kannst du cos(x) / sin(x) in cot(x) umformen:

cos(alpha-beta)/sin(alpha-beta) = cot(alpha - beta)

und da cot(x) = 1/tan(x) :

cot(alpha - beta) = 1/tan(alpha-beta)

laut Additionstheorem des Tangens (ich denke darum gehts in der Aufgabe -> schaus auf WIkipedia nach) gilt:

tan(x-y) = ( tan(x) - tan(y) ) / ( 1 + tan(x) * tan(y) )

durch Anwendung dieses Theorems wird aus

cot(alpha - beta) = 1/tan(alpha-beta)

( 1+tan(alpha) * tan(beta) ) / ( tan(alpha) - tan(beta) )

Bist du dir sicher, dass bei dir ein + statt einem - in den Endterm muss? das dürfte nämlich nichtmal rauskommen, wenn der parameter der trigonometrischen Funktionen am anfang "alpha + beta" statt "alpha - beta" wäre, da dann im endterm "1 - tan(alpha) * tan(beta)" im zähler stehen würde.


PS: Ich will ein latex-plugin

 

[lagalopex]

Das eine Vorzeichen hab ich auch anders...
Aber egal, schaus dir nochmal an.
Nach anwendung des additionstheorems (was du ja schon gemacht hast) musst bloss noch zähler und nenner durch cos(beta)*cos(alpha) teilen, dann stehen da überall passende sin/cos was ja der tan ist.

 

[90nop]

Sorry, ich bin ein Horst

Ausganslage ist die:

 cos(alpha-beta)/sin(alpha+beta)

beim sin ist also ein Plus!

Nun kann ich aber

cot(x) = cos(x)/sin(x)

nicht mehr anwenden :/


@lagalopex:

Nach anwendung des additionstheorems (was du ja schon gemacht hast) musst bloss noch zähler und nenner durch cos(beta)*cos(alpha) teilen, dann stehen da überall passende sin/cos was ja der tan ist.

Das heist ich kann, nach dem ich den Aditionstheorem von cos angewendet habe und...

[cos(alpha) * cos(beta) + sin(alpha) * sin (beta)]/[sin(alpha) * cos(beta) + cos(alpha) * sin(beta)]

...erhalte, zähler und nenner durch cos(beta)*cos(alpha) teilen?




Danke für eure bisherige Hilfe

 

[lagalopex]

Original von 90nop
@lagalopex:

Nach anwendung des additionstheorems (was du ja schon gemacht hast) musst bloss noch zähler und nenner durch cos(beta)*cos(alpha) teilen, dann stehen da überall passende sin/cos was ja der tan ist.

Das heist ich kann, nach dem ich den Aditionstheorem von cos angewendet habe und...

[cos(alpha) * cos(beta) + sin(alpha) * sin (beta)]/[sin(alpha) * cos(beta) + cos(alpha) * sin(beta)]

...erhalte, zähler und nenner durch cos(beta)*cos(alpha) teilen?

Ganz genau. Dann steht überall sin/cos was ja wieder der tan ist und dann kommt dein "Ergebnis" aus raus