Extrema in R3

S

Serow

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Hi,
mal wieder ne Frage an die Mathematiker unter euch:
Es geht darum ein Extremum eines 3D-Graphen zu berechnen. Aber an einer Stelle steige ich aus.

f(x,y) = 1/x - 2y + 1/2*x^2 + ln(y)

ok, also erstmal leitet man nach beiden Parametern ab:

f'x(x, y) = -x^(-2)
f'y(x,y) = (1/y) - 2

Die müssen natürlich beide 0 ergeben:

x1 = 0
x2 = 1
y1 = 0,5

Kann men jetzt dadurch, dass es keine gemeinsamen Werte gibt sagen, dass es keine Extrama gibt? Denn für ein Extremum, muss ja in x und in y-Richtung ein Extremum vorliegen.

Jedenfalls wird in der Lösung noch die 2. Ableitung berechnet:
f''x(x,y) = 2x^(-3^) + 1
f''y(x,y) = -y^(-2)

Mit der 2. Ableitung berechnet man ja die Wendepunkte wenn micht nicht alles täuscht. Aber was wird jetzt hier gemacht:

Z''xx * Z''yy - (Z''xy)^2 = 3*(-4) - 0 = -12 < 0
=> keine relativen Extrema.

Den Schritt versteh ich nicht ganz. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

mfg
serow
 
*MATHMODE HABEN WILL*

Also erstmal ist deine Ableitung nicht richtig. Was du suchst ist eine Nullstelle des Gradienten, so weit richtig. Wenn du keine findest, gibt es kein Extremum.

Also die Ableitung f/dx muss dann eine Nullstelle haben und f/dy auch.
 
Oh ja, bei f/dx hab ich was vergessen abzuleiten.
Also wenn ich nach z.B. nach x ableite und eine Nullstelle bei sagen wir 3 habe, weiß ich nur, dass sich das Extremum irgendwo auf der Geraden von (3/0) mit Richtung (0/1) und unbekanntem z befindet.
Aber wie bekomme ich jetzt wirklich den Extrempunkt raus?

by the way: Was ist ein Gradient?
 
Der Gradient ist ein Vektor aus den Ableitungen nach den einzelnen Komponenten. Also in deinem Fall: G = (f/dx, f/dy)

Und das (die) Extremum (-a) befindet sich an der Stelle wo G = 0, also jede Komponente 0 ist. Alles klar?
 
Achso, also ist das schon richtig, dass ich von jeder Ableitung die Nullstellen suche und wenn es ne Schnittmenge gibt ist da ein Extremum, ja?
Aber was das mit der 2. Ableitung soll kannst du mir auch nicht sagen?
 
Die zweite Ableitung dient (wie im 1-dimensionalen Fall), der Frage, ob eine Nullstelle des Gradienten auch ein Extremum ist, das gilt nämlich dann, wenn f'' != 0.
 
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